Guénon ve Matematiksel Sonsuz

Bekir S. Gür

Yirminci yüzyilin önemli düsünürlerinden René Guénon'un (1886-1951) külliyatinin tamaminin Ingilizce'ye çevrilmesi ve basilmasini yakin zaman önce Sophia Perennis Yayinevi üstlendi. Yayinevi, bu sekilde, hem Ingilizce'de parça parça olarak bulunan çevirilerin yerini sistematik bir biçimde ve daha bir ustalikla yapilmis çevirilerin almasini, hem de Guénon'un simdiye kadar çevrilmemis kitaplarinin da okuyuculara sunulmasini amaçliyor. Bu yolda epeyce yol aldigi söylenebilir. Zira, bu proje kapsaminda, 26 ciltlik Guénon külliyatinin 24 cildi çevrilip yayinlandi bile. Geriye kalan diger iki cildin ise yakin bir gelecekte yayinlanmasi bekleniyor.
Guénon'un bu proje dahilinde Ingilizce'ye çevrilen eserlerinden biri de, ilk defa 1946 yilinda yayinlanan ve orijinal adi Les Principes du Calcul Infinitésimal olup Ingilizce'ye The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus (Sonsuz Küçükler Analizinin Metafiziksel Ilkeleri) adiyla çevrilen kitap. Sophia Perennis'in 2003'te yayinladigi bu kitap, sonsuzluk ve sonsuz küçükler matematigi üzerine Guénon'un temel iddialarini ortaya koyuyor.
Guénon, kitaptaki ana tezini oldukça net ve dolayimsiz bir sekilde sunuyor (s. 7-14). Tez, modern matematigin sonsuz ile ilgili alanlari için hayli sarsici nitelikte: Matematiksel sonsuz diye bir sey yoktur! 1, 2, 3, … gibi bir sayi dizisinin sonsuz degil, olsa olsa, belirsiz ( indefinite ) oldugunu söyleyebiliriz. Dahasi, matematiksel sonsuz diye bir sey olamaz; çünkü bir tane sonsuz vardir, o da ancak metafiziksel sonsuzdur!
Özetlemek gerekirse, Guénon, söyle diyor: Metafiziksel sonsuz disinda hiçbir seye sonsuz denilemez; böyle bir iddia anlamsizdir. Insanlarin bir sayi dizisine sonsuz demesi o sayi dizisinin sonsuz oldugu anlamina gelmez. Tam tersine insanlarin bu sayi dizisinin sonunu getiremedigi anlamina gelir. Bu yüzden, insan açisindan sayi dizisi sonsuz degil, belirsizdir.
Matematiksel sonsuz diye bir seyin olmadigi seklindeki temel tezin dolayli veya dolaysiz sonuçlari kitapta ayri ayri bölümler halinde genisçe ele alinmis. Biz bu yazida bu önemli sonuçlarin yalnizca bazilari üzerine egilmeye çalisacagiz. Bunu yapmadan önce, Guénon'un tezlerini anlamayi kolaylastiracagi için, özellikle Cantor'un matematiksel sonsuz ile ilgili çalismalarina kisaca göz atmakta fayda var.

Cantor'un ‘Cennet'i
Simdilerde küme kuraminin kurucularindan kabul edilen ve matematik tarihinde önemli bir yeri bulunan Alman matematikçi Ferdinand Ludwig Cantor (1845-1918), yasadigi dönemde pek kabul görmemistir. Cantor'un eski hocasi olan Kronecker dönemin nüfuzlu matematikçilerindendir ve agirligini kullanarak Cantor'un fikirlerinin yayinlanmasini engellemeye çalismistir. Dahasi, kimileri Cantor'un çalismalarinin matematiksel degil teolojik oldugunu söylemislerdir. Bazilari ise daha da ileri gidip Cantor'un bir akil hastanesine kapatilmasi gerektigini iddia etmislerdir (Chaitin, 2004). 1 Hulâsa, Cantor'un matematiksel çalismalari herkes tarafindan kabul görmemistir ve Cantor meslekî hayatini ikinci sinif bir enstitüde geçirmek zorunda kalmistir.
Peki, Cantor ne yapmistir da böylesine asiri tepkiler almistir?
Cantor'un çalismalari matematigin bir çok soyut dalinda önemli çalismalara zemin hazirlamistir. Onun asil basarisi ve tepkiye neden olan çalismasi ise, matematiksel sonsuzlugun farkli büyüklük derecelerine sahip oldugunu ispatlamasidir. Daha açik bir ifade ile, Cantor matematiksel sonsuzun/sonsuzlarin, bir tane degil, sonsuz tane oldugunu söylüyordu. Sözgelimi, 1, 2, 3, … diye bildigimiz sayma sayilarinin olusturdugu sonsuz kümenin kardinalitesi (eleman sayisi) (alef-sifir 2 diye okunur) ile gösterilir. Benzer sekilde, reel (gerçek) sayilarin eleman sayisi, olarak gösterilir ve transfinit olarak adlandirilir. Cantor, reel sayilarin kardinalitesinin (transfinit) sayma sayilarinin kardinalitesinden (alef-sifir) büyük oldugunu ispatladi. Herhangi bir sonsuz kümenin kuvvet kümesi (yani alt kümelerinin toplam sayisi), o kümenin kendisinden büyüktür. Böylece kardinalitesi sonsuz olan herhangi bir küme alip, ondan ‘daha sonsuz' bir küme elde edebiliriz. Dolayisiyla, matematiksel sonsuzlari belli bir hiyerarsi içerisine oturtmus oluruz. Cantor bunu fevkalade bir güzellikle ortaya koydu. 3
Guénon'a dönmeden önce, Cantor'un çalismalarinin önemi hakkinda matematikçilerin görüsünü yansitmasi açisindan yirminci yüzyilin ilk çeyreginin önemli matematikçilerinden David Hilbert'in (2004) 1925 yilinda sarfettigi bir sözünü hatirlatalim: “Kimse bizi Cantor'un bizim için olusturdugu cennetten kovamayacaktir.”
Oysa, birazdan görecegimiz üzere, Guénon isim vermeksizin Hilbert'in bu sözüyle hesaplasiyor gibidir.

‘Cennetten Kovulma'
René Guénon'a göre, bir kavram olarak ‘sonsuz sayi' diye bir sayi olamaz. Bu, hem sonsuz hem de sayi kavramlarinin tanimi itibariyle böyledir. Sayilarin en büyügü diye bir sey olamaz (s. 15-8). Bu noktada Guénon'un modern matematikçilerle ile bir sorunu yoktur, çünkü matematikçiler bu tür bir kavramin paradokslara yol açtigini iyi bilmektedirler. Fakat Guénon bu noktada durmaz ve farkini oryaya koyar: Sayilamayacak kadar çok olan mevcûdatin varligi, bunlarin sayisinin sonsuz oldugunu göstermez. Bilakis, onlari sayamiyor olmamiz onlarin bizce belirsiz (veya bînihaye) oldugunu gösterir. Guénon, söyle devam eder: Pascal'a atfedilen iki sonsuz (arti sonsuz ve eksi sonsuz) düsüncesi, kof birseydir (s. 39). Olsa olsa, iki belirsizlikten bahsedilebilir—iki sonsuzdan degil. Guénon'un bu tezi ileri sürerken elinde tuttugu en önemli koz sudur: Matematiksel olarak sonsuzun derecelendirilmesi (sonsuz kümeler arasinda hiyerarsi kurulmasi) mantiksal olarak tutarsizdir (s. 16). Yani dogal sayilar bir sonsuz küme, reel sayilar ondan daha büyük bir sonsuz küme, reel sayilarin alt kümelerinin sayisi ise reel sayilarin sonsuzundan daha sonsuz … seklinde ifade edilen derecelendirme anlamsizdir. Çünkü, bir tane sonsuz olabilir; ki o da metafiziksel sonsuzdur. Yani sonsuzun derecelendirmesi bir sonsuzun ötekinden daha sonsuz oldugunu söylemekle, aslinda birinden birini sinirlandiriyor ki, bu gerçek bir çeliskidir. Çünkü, sonsuz, tamin itibariyle sinir tanimayandir. Bu son ifade ile Guénon'un arti sonsuz ve eksi sonsuza niçin karsi çiktigi daha iyi anlasilir. Demek ki, sonsuzun derecelendirilmesine karsi çikmakla Guénon, Cantor'un çalismalarini reddetmis oluyor.

Sonsuz küçükler matematigi ve Leibniz
Guénon, kitap boyunca sonsuz küçükler kalkülüsünün (analizinin, hesabinin)—Newton'dan bagimsiz— “mucidi” olarak kabul edilen Leibniz'le hesaplasir. Mamafih, Guénon, Leibniz'in atomcu olmamakla hakli oldugu söylemektedir (s. 51). Yani, bu analizin ilgilendigi o ‘sonsuz küçüklükteki sey' atom gibi bir sey olamaz. Baska bir deyisle, o parçacigi bölme islemi bir noktada durmamalidir. Fakat, Guénon'a göre Leibniz sonsuz küçükler analizi ile ilgili temel sorunu çözmekten uzaktir. Dahasi, Leibniz ‘limite geçis' tabirini kullandigi anda saçmalamistir (s. 74-7). Böylece, Guénon modern matematikte limitin yanlis anlasildigini da belirtmis oluyor.
Bunu biraz açmak gerekirse, su ifadede geçen limit islemini ele alalim:

Bu limit islemi okullarda (teknik ayrintilara girmeden kabaca ifade etmek gerekirse) söyle ögretilir: “ x , 2'ye giderken yani x 'in degeri 2'ye dogru sürekli olarak yaklasirken; x sayisinin degeri 2'ye o kadar yakinlasiyor ki artik bir noktada x sayisinin limiti 2 oluyor; dolayisiyla yukaridaki limit isleminin sonucu ( 2-2=0 ) oluyor.” Guénon bu ziplamanin olamayacagini söylüyor; bu ikisi arasinda kategorik fark vardir: x ile 2 arasinda sonsuz küçük bir fark vardir. x 'in sürekli olarak 2'ye yaklasmasi ile “ x sayisinin limiti 2'dir” ( x bir noktada 2 oluverir) ayni sey degildir. O sonsuz küçük ‘miktardaki' farkin atlanmasi anlamina gelen ‘ziplama' (limite erismesi veya finale varmasi) asla söz konusu olamaz (s. 124-7). Guénon burada hayli dikkatli ilerliyor ve de ikna edici; çünkü ziplamanin oldugunu kabul ettigi an bir matematikçi bizzat kendisinin inandigi sonsuzu inkâr etmis olur. Yani ziplamayi kabul edersek, sonsuz sayida adim atmis oldugumuzu kabul etmis oluruz ki, böyle bir sey olamaz. Böyle bir sey varsaydigimiz an atomculuga döneriz. Buradan Guénon'un çikardigi sonuç sasirtici degildir: Limiti sonsuza ‘göndermek' de ayni sekilde anlamsizdir (s. 74-7).
Guénon'a göre, sonsuz küçükler analizindeki mantiksal tutarsizliklarin bir türlü sonunun gelmemesinin nedeni, metafiziksel sonsuzun yeterince kavranamamis olmasidir. Bati dünyasinin en büyük kafalarindan biri olan Leibniz'in isin içinden çikamamis olmasi da bundandir. Guénon'a göre, Leibniz sonsuz küçükler analizini gerekçelendirmeye çalisirken, ‘Matematiksel analizin metafiziksel tartismalara bagimli olmaya ihtiyaci yoktur' deyip, sonra birakin metafiziksel olmayi, düpedüz teolojik olan ilkeleri kullanmak suretiyle saçmalamistir (s. 66-7).

Uylasimcilik ve Gerekçelendirme
Leibniz'in sonsuz küçükler hesabini gerekçelendirmeye çalisirken tikanmis oldugu seklindeki Guénoncu iddiaya degindik. Leibniz'in bizatihî kendisinin de kabul ettigi gibi, sonsuz küçükler hesabinin (matematiksel ve felsefî olarak) gerekçelendirmesi için bu hesabin bilimde kullanisli olmasi olgusu, yeterli degildir. Guénon'a göre, Leibniz de bunun yeterli olmadigini bildigi için açiklamalara girismistir. Ancak, ‘açiklamis' degildir, sadece ‘açiklamaya girismis'tir; çünkü Leibniz'in sonsuz küçükler analizinin ‘saglam-temelli kurgular' oldugunu söylemesi, Guénon'a göre, meseleyi karistirmaktan öteye gitmemistir (s. 35-40).
Buradan, modern matematigin baska bir kör noktasina geçebiliriz. Guénon'a göre, modern matematik uylasimcilik—ki uzlasimcilik veya konvansiyonalizm diye de ifade edilmektedir— adina sayilarin ve genel olarak matematigin bir çok yönünün kökenini ve varlik nedenini unutmustur (s. 3). Bu unutma öyle bir noktaya varmistir ki, matematigin gelisimi artik sirf uylasimcilik adina gerekçelendirilmistir. Her türlü keyfî veya rastgele kurulum, uylasimcilik adi altinda, geçistirilmektedir. Oysa uylasimcilik asla tatmin edici bir cevap olamaz. Çünkü, “Neden baska bir uylasim degil de bu uylasim?” sorusuna tatminkâr bir cevap verilemez. Her seçimin arkasinda mantiksal veya baska kimi nedenler de yatar. Bu nedenlerin uylasimcilik adina göz ardi edilmesi ise kabul edilemez bir seydir.

Guénon'un Tezleri Bizi Nereye Götürüyor?
Guénon'un tezleri aktarildiktan sonra, sorulmasi gereken ilk soru bu tezlerin bizi nereye götürdügüdür. Guénon'un matematiksel sonsuzu kabul etmeyisinin bizim için ne anlama geldigi üzerinde düsünmeye deger.
Bunun için, matematikçiler ve matematik filozoflari arasinda çogunlugu temsil etmeyen ve fakat azimsanamayacak bir akim olan sonlucular ile Guénon'un benzerliklerini ve farkliliklarini ele almakla baslayalim. Matematiksel sonlucularin en bilineni olan ve kendilerine insaci (sezgici) denilen grubu ele alalim. Insacilara göre, dogal sayilardan sonlu sayida basamak ile insa edilemeyen matematiksel önermeler, güvenilir degildir. Bu yüzden insacilar reel sayilar kümesi veya baska herhangi bir sonsuz kümeyi kabul etmezler. Bu noktadan bakilinca sonlucularin Guénon'a benzer oldugu düsünülür. Ne var ki, Guénon söz konusu matematiksel sonluculara küçümser bir edâ ile bakar. Ona göre, matematikçiler arasindaki sonlucular ve sonsuzcular seklindeki bölünme, sonsuz ile ilgili sorunlara bir çözüm getirmekten uzaktir. Sözgelimi Guénon, sonlucu matematikçi Renouvier'in ‘matematiksel sonsuz'u inkâr etmekle hakli oldugunu belirtir, ama “Renouvier metafiziksel sonsuza yabanci oldugu için baska bir problem olan atomculuga yakalanmistir” der (s. 63).
Bize göre Guénon'un iddialari aslinda matematiksel veya mantiksal olarak pekâlâ gerekçelendirilebilirdir. Sonlucularin yaptigi sey de özünde bundan pek farkli degildir. Yani matematiksel sonsuzun inkâri matematiksel olarak—veya en azindan matematiksel felsefe açisindan— ortaya konulabilir. Sözgelimi Chaitin gibi günümüz matematikçi-filozoflari, reel sayilarin sonsuzu gerektirdigini düsündügünden bu sayilarin ‘ real ' (gerçek) olmadiklarini ve dolayisiyla ‘var olmamalari gerektigini' söylüyor .4 Bu anlamda bu matematikçilerin sayi kavrami Guénon'un kavramina yakin: Her iki tarafta da, (örnegin 2, 398… gibi) reel sayilarda görülen sürekliligin aksine, sürekli olmayan veya ayrik (1, 2, 3, vb. ) bir sayi kavrayisi var (s. 64). Fakat, daha önce degindigimiz gibi, Guénon sonlucularin hiçbir sey sunamayacaklari görüsündedir. Dolayisiyla Guénon, modern matematigin sonsuzla ilgili bölümlerini tamamiyla reddeder görünmektedir. Tam da bu noktada, Guénon'un tezleri bize çok fazla sey sundugu için veya mevcuttan tamamen farkli bir tasavvur sundugu için (yani sonlucu veya sonsuzcularin tamamini reddedip alternatif olarak -matematikle zorunlu olarak bir ilgisi olmayan- metafizik bir sonsuz anlayisi), sorunludur. Guénon, modern matematigin ilgili kisimlarini toptan inkâr edip tamamen baska bir tasavvur teklif etmekle, modern matematigin bütün imkânlarini reddetmis olur ki bu bizce kabul edilemez bir seydir. Buna karsin, Guénon'un, sözgelimi, sonsuz küçükler hesabini toptan inkâr etmedigi; daha ziyâde, bu hesabin mantiksal gerekçelendirmesinin yetersiz oldugunu gösterdigi iddia edilebilir. Ne var ki, sonsuz küçükler hesabinin pratikte isler olmasinin Guénon için bir anlam ifade edip etmedigi ucu açik bir sorudur.
Belki anakronik bir elestiri yapmis olacagiz fakat zaten derdimiz Guénon'un bugün için bize ne ifade ettigini anlamaktir. Guénon, sözgelimi sonsuz küçükler bahsinde, pragmatik olan veya bilim cenahindan getirilen (örn. sonsuz küçükler hesabinin modern fizik ve mühendislikte sorunsuz bir sekilde yaygin olarak kullanilmasi türü) gerekçelendirmelerin tümünü dislamakla, her seye mantiksal bir temel bulma arayisindadir; bu ise aslinda sonuna kadar modern bir tavirdir. Yani, Guénon'un çabasi ile matematige temel bulmak için yogun çaba harcayan yirminci yüzyilin ilk çeyregindeki Russell, Hilbert ve Brouwer gibi modern matematikçi-filozoflarin çabasinda, birbirinden ne kadar uzak görünseler de, ortak bir taraf vardir. O da, sudur: Her iki kesim de her seye mantiksal bir temel bulma arayisindadir.
Oysa simdilerde matematikçilerin büyük çogunlugu böyle bir temel arayisini terketmistir. 5 Matematigin bir temele gereksinim duymadigini, 1967 yilinda Hilary Putnam cesur bir sekilde söyle dile getirmisti: “Kanimca matematik, açiklik gerektiren bir konu degildir; temellendirilmeye iliskin bir bunalimi da yoktur. Dahasi, matematigin temeli olmadigi gibi, bir temele ihtiyaci olduguna da inanmiyorum” (Putnam'dan aktaran Yildirim, 2000: s. 101). Sorunun temeli, kati bir temelcilik adina, matematigin bütün pragmatik yanlarinin reddinde yatmaktadir.
Bu elestirilerimizi bir yana koyarsak, Guénon'un kitaptaki tezlerinin asil önemli yani, bizi, matematiksel uylasim adina bütün anlamlarin buharlasmasini mesrulastirmaya karsi dikkatli olmamiz noktasinda uyarmasidir. Guénon'un matematik uylasim adina sonsuz ile ilgili meselelerin mesele olmaktan çikarilmasina karsi çikmasi dikkate degerdir. Gerçekten de, bütün gerekçelendirilmelerin uylasim adina yapilmasiyla, matematikteki seçimlerin arkasinda yatan dolayisiyla matematigin tarihini sekillendiren mantiksal veya baska türlü nedenler harcanmis olur. Sözgelimi, saatlerde ve genel olarak gökbiliminde altmisli taban veya sayi sistemini kullandigimiz gibi, neden günlük hayatta onlu sayi sistemi yerine altmisli sayi sistemini kullanmiyoruz? Bu tür sorularin cevabinin bir noktada gelip uylasima dayanacaklari dogru olsa da, tarihsel ve mantiksal nedenler olmaksizin, uylasimin bir basina tatmin ediciligi yoktur.
Bu nedenle, anlamda direten Guénon, sifiri ‘mutlak yokluk' seklinde sunan matematikçilere hakli olarak karsi çikmaktadir (s. 81-88). Guénon'un bu tür tezlerinin matematik ögretimi açisindan önemi azimsanamaz. Guénon izlenerek, sifirin teknik bir mesele olmaktan çok öte anlamlarla yüklü oldugunu kolaylikla görülebilir. Bu görüldükten sonra da sifiri ve genel olarak matematigi ‘teknik' bir mesele olarak ögretmenin anlamsizligi da ortaya çikar.

Notlar:
1. Cantor, sebebi tam olarak bilinmeyen akil hastaliginin etkisiyle, bu elestirilerden fazlasiyla nasibini almistir. 1884'te sinir krizi geçirmistir; 1885'te iyilesmeye baslamis, fakat üretkenligini yitirmistir; ve hayatinin geri kalan kisminda matematikle pek istigal etmeyip, sadece üç makale yazmistir. Ileri yaslarinda da hastaligi onu yalniz birakmamistir. Öyle ki, kimi zaman oldugu yerde hiç konusmadan öylece kala kaliyor; günlerini depresyon ve sinir bozuklugu ile mücadele etmekle geçiyordu. Birkaç kez akil hastanesine yatip çikar ve nihayet 1918 yilinda hastanede iken kalp yetmezliginden ölür. Cenazesine istirak edenlerin sayisinin az oldugu da biliniyor (Aczel, 2000). geri dön
2. “Alef” Ibrani alfabesindeki ilk harftir. geri dön
3. Ne var ki, daha sonra, Cantor'un sonsuzluk analizleri matematigin dayandigi küme kuraminda paradokslara yol açti. Matematikçiler ve filozoflar bu krizi asmak için matematigin temellerini güvenceye almaya çabaladilar. Matematigin temelleri konusunda bu çabalamalar ise baska bir incelemenin konusudur. geri dön
4. Ki Chaitin'in kendi çalismalarinin merkezini olusturan omega sabiti tamamen reel sayilara dayandigi halde! geri dön
5. Ayrica bir kisim son dönem filozof ve düsünürleri temelcilik karsiti bir konum belirlemislerdir. Temelcilik karsiti kimi düsüncelerin burada ifade ettigimiz elestiriyi etkilemis olmasini kabul etmekle birlikte buradaki tartismayi sadece matematikle sinirlandirmak durumundayiz. geri dön

Kaynakça
Aczel, Amir D. (2000). The Mistery of the Aleph: Mathematics, The Kabbalah, and The Search for Infinity . New York: Four Walls Eight Windows.
Chaitin, Gregory J. (2004). Matematigin Temelleri Üzerine Uyusmazlik Yüzyili. Matematik Felsefesi içinde, (Ed.) Gür, B. S., Kadim Yayinlari, 2. Baski.
Guénon, René (2003). The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus . Trans. By H. D. Fohr & M. Allen, Ed. By Samuel D. Fohr, Sophia Perennis.
Hilbert, David (2004). Sonsuz Üzerine. Matematik Felsefesi içinde, (Ed.) Gür, B. S., Kadim Yayinlari, 2. Baski.
Yildirim, Cemal (2000). Matematiksel Düsünme. 3. Basim. Remzi Kitabevi.

Kaynak: Bekir S. Gür, Guénon ve Matematiksel Sonsuz. Karakalem , Ocak-Subat, 2005, sayi: 1, s. 38-44.